ブーリアンネットワークの平均固定点数の新定理

＜研究の背景＞

遺伝子のオン・オフ、神経細胞^注３）の発火・休止、意見の賛成・反対のように、２つの状態で表される要素が相互作用し合って多彩なダイナミクスを生み出す系は、生物系、社会系を問わず数多くみられます。遺伝子制御^注４）、神経回路^注５）、意見交換などのネットワークが、その例です。Ａの遺伝子がオンになっているときだけＢの遺伝子がオンになったり、またＣさんとＤさんが賛成なら賛成したがる人が、Ｅさんも賛成となると途端に反対に回ったりと、各要素は周囲の状況に応じて状態を決める“性質”や“性格”を持っています。それをブール関数（Ｂｏｏｌｅａｎ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ）と捉えてモデル化したものを「ブーリアンネットワーク（Ｂｏｏｌｅａｎ　ｎｅｔｗｏｒｋ）」といいます。 入力と出力の関係を表す「有向ネットワーク^注６）」で互いにつながった各要素の状態（０か１）は、ブール関数に従って更新されます。系全体の状態は、ある初期状態から出発すると、それ以上は状態が変わらない「固定点」か、状態が周期的に変わる「振動解」のどちらかに行き着きます（図１左）。

系に固定点が何個あるかという問題は重要です。意見形成プロセスのモデルと捉えた場合、固定点が存在しないことは、いつまでたっても意見を決められない人が必ず出てくることを意味します。また、細胞の分化^注７）では、固定点に対応すると考えられる遺伝子発現パターンが細胞の種類を決定しているので、細胞の種類に多様性が存在するためには、系が多くの固定点を持つ必要があります（図１右）。

しかし、単純な方法でランダムに構築されたブーリアンネットワークでは、要素数を増やしても固定点は平均１個しか存在しないことが指摘されています。従って、固定点を多様に作り出すには、うまくブール関数を選んだり、ネットワークを組んだりするような精巧な機構の存在が予想されます。

ブーリアンネットワークのダイナミクスは一般に、系のネットワークのつながり方（トポロジー）とブール関数の選び方の両方に依存します。そのため、任意のトポロジーを持つブーリアンネットワークの固定点の数を、ブール関数の選び方にさまざまなバイアス（偏り）が存在する条件下で解析するのは、大変に複雑な問題であり、一般公式はありませんでした。

＜研究手法と成果＞

研究チームは、ブーリアンネットワークを任意のトポロジーに固定し、各要素のブール関数をさまざまな「確率分布」に従ってランダムに割り振ると仮定した状況で、広い条件下で固定点の数の平均値を記述する定理を導き出しました（図２）。

まず、「あるリンクが確率的に中立である」という概念を導入しました（図３）。直感的には、そのリンクが“活性の役割”と“抑制の役割”を果たす確率が等しいことを意味しています。数学的には、ブール関数を扱う理論で用いられる「Ｎｅｇａｔｉｏｎ同値^注８）」という関係性を使って定義しました。Ｎｅｇａｔｉｏｎ同値関係を満たすブール関数を用いて表現された和が、ある種の不変量^注９）になっているという事実が、定理の証明の鍵となっています。

また、グラフ理論でよく知られた概念である「フィードバックアークセット（Ｆｅｅｄｂａｃｋ　Ａｒｃ　Ｓｅｔ：ＦＡＳ）」を用いました。ＦＡＳとは、それを取り除くとネットワークから有向サイクル^注６）が消失するリンクの集合で定義されます（図２）。ＦＡＳは一般に、唯一でなく、また最小サイズである必要もありません。新しく導かれた定理は、“確率的に中立なリンクの集合がＦＡＳであるならば、固定点数の平均値（平均固定点数）は１である”というものです。

図４の例を用いて説明すると、左の有向ネットワークで、ピンクの太い矢印で表されたリンクが確率的に中立であれば、他の条件には依らずに平均固定点数が１であるという、非常に強い主張を持つ定理になっています。図４の例は小さいネットワークですが、要素数が数万個といった大きいネットワークに対しても適用可能です。この定理は、ネットワークのトポロジーだけを調整しても、平均固定点数を増やせないことを意味しています。

さらに、別の公式として、サイクル全体で確率中立が破れている場合の平均固定点数は、ポジティブフィードバック^注１０）が優勢なら１より増え、ネガティブフィードバック^注１１）が優勢なら１より減ることも示しました。ポジティブフィードバックはこれまで、多様な固定点を生み出すための必要条件としては知られていましたが、本研究で平均固定点数を大きくするための十分性を証明したことになります。

＜今後の期待＞

ブーリアンネットワークが、生命現象の基礎である遺伝子制御系のモデルとして提案されたのは、約半世紀も前のことです。複雑な生物の仕組みを少しずつ理解するために、また、モデルがもたらす魅力的な数理の問題を解き明かすために研究は続けられ、近年では社会現象のモデルとしても再注目されています。このような背景の中、本定理は発見されました。

本定理は、ブーリアンネットワークでの記述が妥当である全ての系（任意のトポロジー、任意のサイズ）に対して適用することができます。適用時にはＦＡＳが確率中立であるかどうかのチェックだけで済むため、高い実用性を持ちます。本定理を証明する過程で複雑な数式を簡単化する鍵となったのは、新しい不変量の導入でしたが、同じような方法で不変量を適切に導入することにより、固定点のみならず、振動解の数やその周期の長さなど他の特徴の解析が大きく前進する可能性があります。

＜参考図＞

＜用語解説＞

注１） 遺伝子

細胞の核の中にあり、オンの状態では特定のタンパク質が作られ、オフの状態では作られない。

注２） ブール関数

０か１で表される入力値の集合に対して、０か１の出力を返す関数。例えば、ｆ（０、０）＝１、ｆ（０、１）＝０、ｆ（１、０）＝０、ｆ（１、１）＝０を満たす関数ｆは、２つの入力変数の両方が０のときだけ１を出力する２変数ブール関数。

注３） 神経細胞

神経系を構成する細胞。活動電位が発生しているオンの状態と、発生していないオフの状態を取り得る。

注４） 遺伝子制御

遺伝子Ａがタンパク質を作ることで、遺伝子Ｂがタンパク質を作りやすくなったり、逆に作りにくくなったりするとき、遺伝子ＡがＢを制御するという。遺伝子間の制御関係を矢印で表したものを、遺伝子制御ネットワークと呼ぶ。

注５） 神経回路

神経細胞がシナプス結合によりネットワークを形成したもの。

注６） 有向ネットワーク、有向サイクル

リンクに向きが定義されたネットワークを有向ネットワークと呼ぶ。有向ネットワーク上で、リンクの向きに沿って一周できる経路を有向サイクルと呼ぶ。スタート地点から出てそのままその地点に戻る自己ループや、スタート地点から隣に動いてすぐに逆向きに戻ってくる往復経路も、有向サイクルに含まれる。

注７） 細胞の分化

受精卵が細胞分裂し、いろいろな種類の細胞に分かれていく過程。

注８） Ｎｅｇａｔｉｏｎ同値

関数 が、のように、関数のある入力変数の否定（なら 、なら ）で定義されるとき、関数とはＮｅｇａｔｉｏｎ（否定）同値関係にあるという。

注９） 不変量

変換に対して値を変えない量。本研究では、変数の否定という変換に対して、変わらない量。

注１０） ポジティブフィードバック

ブーリアンネットワークでは、活性の役割のリンクを＋１、抑制の役割のリンクを－１で表したとき、サイクルを一周したときの数字の掛け算が＋１のものを、ポジティブフィードバックと呼ぶ。

注１１） ネガティブフィードバック

上と同様に、サイクルを一周したときの数字の掛け算が－１のものを、ポジティブフィードバックと呼ぶ。

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